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In matematica, il permanente di una matrice quadrata ${\displaystyle A}$ di ordine ${\displaystyle n}$, di elementi ${\displaystyle a_{ij}}$ è definito come

${\displaystyle \mathrm{perm}<!--\; \; -->(A)=\underset{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\in <!--\; \in \; -->S_n}{\sum <!--\; \sum \; -->}\underset{i=1}{\overset{n}{\prod <!--\; \prod \; -->}}{a}_{i{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_i},}$

dove ${\displaystyle {\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_i}$ rappresenta una permutazione, ovvero un elemento del gruppo simmetrico ${\displaystyle S_n}$. La definizione ricorda quella molto simile di determinante: ci sono gli stessi addendi, ma con l'unica differenza che nel determinante sono alcuni col segno più e altri col segno meno, nel permanente sono tutti col segno più. Di fatto, come quest'ultimo, il permanente è un caso particolare di immanente, una più generale operazione su matrici di ordine ${\displaystyle n}$.

Al contrario del determinante, il permanente non ha una semplice interpretazione geometrica. Esso è usato principalmente in combinatoria e nello studio dei bosoni.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Considerando il permanente come una funzione i cui argomenti sono ${\displaystyle n}$ vettori, esso è una applicazione multilineare ed è simmetrica.

Sia ${\displaystyle A}$ una matrice quadrata di ordine ${\displaystyle n}$ si ha:

• ${\displaystyle \mathrm{perm}<!--\; \; -->(A)}$ è invariante rispetto a permutazioni arbitrarie di righe o colonne di ${\displaystyle A}$;
• moltiplicando una riga o una colonna di ${\displaystyle A}$ per uno scalare ${\displaystyle \mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$ anche il permanente viene moltiplicato per ${\displaystyle \mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$;
• ${\displaystyle \mathrm{perm}<!--\; \; -->(A)}$ è invariante rispetto alla trasposizione, cioè ${\displaystyle \mathrm{perm}<!--\; \; -->(A^T)=\mathrm{perm}<!--\; \; -->(A)}$.

Se ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ e ${\displaystyle B=(b_{ij})}$ sono matrici quadrate di ordine ${\displaystyle n}$, allora

${\displaystyle \mathrm{perm}<!--\; \; -->(A+B)=\underset{I,J}{\sum <!--\; \sum \; -->}\mathrm{perm}<!--\; \; -->(a_{ij}{)}_{i\in <!--\; \in \; -->I,j\in <!--\; \in \; -->J}\mathrm{perm}<!--\; \; -->(b_{ij}{)}_{i\in <!--\; \in \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{I},j\in <!--\; \in \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{J}},}$

dove ${\displaystyle I}$ e ${\displaystyle J}$ sono sottoinsiemi di ${\displaystyle \{1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n\}}$ che hanno la stessa cardinalità e ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{I}}$ e ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{J}}$ sono i rispettivi complementari in tale insieme.

D'altra parte la proprietà moltiplicativa del determinante non è soddisfatta dal permanente. Ad esempio:

Per il calcolo del permanente è valida una formula simile allo sviluppo di Laplace del determinante, in cui tutti i segni dei minori sono positivi. Per esempio, sviluppando lungo la prima colonna la seguente matrice si ha

mentre sviluppando rispetto all'ultima riga si ha

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

In meccanica quantistica, in sistemi a molti bosoni, il permanente può essere utilizzato per determinare uno stato completamente simmetrico che descriva una particolare configurazione del sistema, in modo del tutto analogo al determinante di Slater

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

• Determinante
• Funzione simmetrica

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